DiscreteモデルとContinuousモデルの違い - システムとモデリング

今回も書籍『A Biologist's Guide to Mathematical Modeling in Ecology and Evolution』から学習した内容の備忘録になります。

ネズミが生殖により増えたり、銀行に預けたお金が複利で増えたり、人気商品だということが広まるとさらに人気になったり…… 「時間経過に従い自己増殖」する現象が世の中には多く存在します。

これをDiscrete（離散的)な計算モデルで表すと以下のようになります。

\[ n(t+1) = (1+r)n(t) \]

nはネズミの個体数だったり、銀行預金だったりします。
rは増殖の速さを決める係数になります。
tは時間を表します。時間の単位は一日だったり一年だったりします。

上記式の意味は『1単位時間経過したとき、その前の個体数の(1+r)倍に増える』ということになります。

同じ自己増殖の計算モデルをContinuous（連続的な)な計算モデルで表すと以下のようになります。

\[ \frac{dn}{dt} = rn \]

rは増殖の速さを決める係数になります。

Discrete と Continuousの式は一見同じものに見えます。結果も同じになるでしょうか？ juliaで計算してみます

計算

以下のパラメーターに基づいて計算します。

初期値n(0)=1.0
r = 0.01
t=100まで計算

using Plots
using DifferentialEquations

N0 = 1.0
tmax = 100
r = 0.01


function Discrete(r,N0,tmax)
     A = zeros(tmax)
     A[1] = N0
    for i = 1:tmax-1
        A[i+1] = (1+r)*A[i]
    end
    return A
end

DiscreteAns = Discrete(r,N0,tmax)


Continuous(u,p,t) =  r * u
u0 = N0
tspan = (0.0,tmax)
prob = ODEProblem(Continuous,u0,tspan)
sol = solve(prob, Tsit5(), reltol=1e-8, abstol=1e-8)

plot(sol,label="Continuous")
plot!(DiscreteAns,ls=:dash,label="Discreat")